The Story of Joon
참고: 이 글은 필자의 기록용으로 불친절하거나 일부 선행 지식을 필요로 할 수 있습니다. 선형대수학에서 케일리 해밀턴 정리(Cayley–Hamilton theorem)는 임의의 정사각행렬 $A$에 대하여 특성다항식$$f_A(x)=\det(xI-A)$$에 행렬 $A$를 대입하면 영행렬이 나온다는 정리이다. 수학의 정석에서 케일리 해밀턴 정리를 본 적 있는 독자라면 2x2 행렬에서 아래와 같은 식으로 기억하고 있을 것이다.$$A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=O$$이 식은 사실 2x2 행렬의 특성다항식에 $A$를 대입한 꼴로, 임의의 $n\times n$ 정사각행렬에서도 이 결과가 성립한다. 심지어 행렬의 성분이 임의의 체 $F$의 원소일 때도 성립한다. 간단해 보이는 정리이지만 증명은 생각보다 간단하지 ..
Linear Algebra in Problem Solving (1) Linear Algebra in Problem Solving (2) Linear Algebra in Problem Solving (3) (현 포스트) 기존 두 포스트에서는 선형대수학에 등장하는 기본적인 행렬 연산과 행렬에 관련된 중요한 식을 어떻게 효율적으로 계산하는지에 대해 알아보았다. 하지만 PS에서 대놓고 이런 값을 구하라고 요구하는 문제는 드물고, 보통 선형대수학을 응용해야 하는 문제가 나오게 된다. 대표적인 예시가 1편에서 나왔듯이 XOR을 \(\mathbb{F}_2\)에서 벡터의 덧셈으로 생각하는 방식이다. 이 포스트에서는 좀더 고급 응용인, 조합론에서 선형대수학이 응용되는 예시를 다룬다. 이분 그래프의 인접 행렬 PS는 물론..